雇用契約に期間が定められている場合、その雇用契約は、期間が満了することによって終了します。
したがって、通常は、契約が更新されない以上、働き続けることはできません。

しかし、実際のパート従業員は、契約の更新を何度も繰り返し、長期間にわたって働き続けている方が大勢います。
会社に雇用継続を期待させるような言動があったり、当然のように更新が繰り返されてきたという事情がある場合には、形式上は期間の定めがあっても、実質的にはその定めがない契約と同様といえます。

このような場合には、契約期間の満了だけを理由とした契約の打ち切り（雇止め）をすることはできず、会社の雇止めは実質的に解雇といえるのであって、合理的な理由がなければ認められません。
あなたの場合も、合理的な理由がなければ、雇止めは許されないでしょう。