獣医師は、診療当時の医療水準に照らし、善良な管理者としての注意義務を尽くして動物の診療に当たる義務を負っています。
このケースでは、初期対応が間違っていたということであり、診療に当たった獣医師には注意義務違反の過失が認められそうです。

この場合、あなたは、この獣医師に対し、不法行為（民法709条）に基づき損害賠償を請求することができます（民法709条）。
また、動物病院に対しても、特殊不法行為に当たる使用者責任（同法715条）に基づき、または準委任契約である診療契約の債務不履行（同法415条）に基づき、損害賠償を請求することができます。

損害としては、例えば、

① 病院のミスにより愛犬の症状が悪化し、別の動物病院に入院させ、治療を受けさせざるを得なかったことに伴う財産的損害
② 大切な家族の一員である愛犬が重い後遺症を患ったことに伴う精神的損害

などが考えられます。