強制執行を別の弁護士に依頼することは可能です。
基本的に弁護士との契約は信頼関係を基礎としていますのでそれが崩れた場合は契約の解消は可能ですし、そもそも委任の範囲が判決獲得までであれば、その後は自由に弁護士を選べます。

弁護士を代えた場合に費用がどうなるかについては、現在の弁護士とこれから依頼する弁護士の報酬に関する考え方によりますので何とも言えません。
ただ、現在の弁護士も業務を遂行し判決を獲得しているので委任の終了にあたってその分の報酬をいくらか請求されてしまうケースが多いかと思われます。
その意味では、一般的には弁護士を代える方が費用面では高くなる可能性もあります。

費用面の負担も含め、これから依頼しようと思う弁護士に相談してみてはいかがでしょうか。